Calculus CDS-1

渺宙凛弦 Calculus for Science and Engineering

一些重要的概念

  • 多项式与有理函数
  • 逆函数
  • 三角函数与反三角函数

A实数系统

  1. 整数（0，1，2，±1，±2）
  2. 有理数：有理数是p/q形式的任意数，其中p和q是整数，q≠0
  3. 无理数：无理数是那些不能用p/q形式表示的实数，其中p/q是整数。无理数具有不重复或终止的十进制展开式。
    1. e.g：熟悉的无理数及小数展开式：

      1. $$
        \sqrt{2}=1.4142135623
        $$

      2. $$
        \pi=3.1415926535
        $$

      3. $$
        e=2.7182818284
        $$

B区间

  1. 闭区间：闭区间[a , b]是a和b之间的一组数字，包括a和b端点
  2. 开区间：开区间(a, b)是a和b之间的一组数字，但不包括端点

$$
(a,b)={x∈R|a<x<b}
$$

C实数加法与乘法的性质

  1. 实数的加法及减法
    1. $a+b=b+a(交换律)$
    2. $(a+b)+c=a+(b+c)$
    3. $a+0=a(零数性质)$
    4. $对于任何数字a，都存在一个数-a，使得a+(-a)=0$
    5. $根据a>b,可得到a+c>b+c$
  2. 实数的乘法及除法
    1. $ab=ba(交换律)$
    2. $(ab)c=a(bc)]$
    3. $a*1=a(性质为1)$
    4. $对于任何数a≠0,存在它的倒数1/a，使得a=1$
    5. $(a+b)c=ac+bc$
    6. $若a>b和c>0,可知ac>bc$

定义1.1

实数x的绝对值为$|x|= \begin{cases} x& \text(x≥0)\ -x& \text(ifx＜0) \end {cases}$

D直线方程

直线的点斜式
$y=m(x-x_0)+y_0$
直线的斜截式更为方便
$y=mx+b$

定义1.2

对于$x_1$≠$x_2$,通过点($x_1$,$y_1$)和($x_2$,$y_2$)的直线的斜率是$m= \displaystyle\frac {y_2-y_1}{x_2-x}$
当$x_1=x_2时,通过(x_1,y_1)和(x_2,y_2)$

注意：仅当一条直线的斜率为0时，它才是水平的

定理1.2

如果两条（非垂直）直线斜率相同，则它们平行。任何两条垂直线都是平行的。
当两条斜率为$m_1和m_2$的直线（非垂直）斜率都为-1(即$m_1*m_2$=-1)时，它们互相垂直
垂直线和水平线都是垂直的

E函数

函数是一个规则
集合A恰好有一个对象位于集合B中，在这种规则下，函数标准式 y=f(x)
集合A称之为函数的定义域，集合B称之为函数的值域

定义1.4

多项式是可以写成以下形式的任何函数
$f(x)=a_nxn+a_{n-1}x{n+1}+…+a_1x+a_0$
$其中a_0,a_2,…,a为实数（多项式的系数）$，a≠0，n≥0为整数（多项式的系数）

F有理函数

任何函数都可以被写成这样的通式方程
$f(x)=\displaystyle\frac{p(x)}{q(x)}$
其中p和q是多项式，称为有理函数
注意事项：由于p(x)和q(x)是多项式，它们都是针对所有x定义的，因此有理函数
$f(x)=\displaystyle\frac{p(x)}{q(x)}$是根据所有满足$q(x)≠0$的x定义的
·当一个数不在函数的定义域时会有两种情况

  1. 除以0
  2. 负数的偶次根

G截距

x截距：图像与x轴的交点
y截距：图像穿过y轴的交点
xy截距是唯一的！

有一种可能的y截距算法：
$y0=f(x)$，求$y=f(x)$的任意x截距，集合y=0并求解
有些时候找到x截距可能会很难

对于一元二次方程：
$ax^2+bx+c=0$
在a≠0时，可以有这样的公式
$x=\displaystyle\frac{-b±\sqrt b^2-4ac}{2a}$

定理1.3

n次多项式最多有n个不同的零点

定理1.4

对于任何多项式$f$，当且仅当$(xa)$是$f(x)$的一个因式时，$f(a)=0$

H反函数

复合函数的组成：给定函数$f(u)$和$g(x)$
组合$f(g(x))$是通过在$f(u)$的公式中用$u=g(x)$代替$u$而形成的函数。

定义3.1

设f和g分别具有定义域A和B，且f(g(x))对于所有x∈B都有定义，那么g(f(x))对于所有x∈A都有定义。
如果存在：
$f(g(x))=x$，所有$x∈B$，
$g(f(x))=x$，所有$x∈A$
我们称$g$为$f$的反函数，记为$g=f-1$，同样地，$f$是$g-1$的反函数

定义3.2

如果一个函数的每个$y$均在$f$的值域中，有且仅有一个$x$属于$y$的定义域使得$y=f(x)$，则这个函数$f$是一对一的

注：一对一的等效定义如下：当且仅当等式$f(a)=f(b)$且$a=b$时，函数$f(x)$是一对一的。

定理3.1

仅当函数f一一对应时，它才有反函数。

I三角函数和反三角函数

定义4.1

如果$f(x+T)=f(x)$，则称呼函数$f$为$T$的周期函数

对于所有$x$，使得$x$和$x+T$在f的定义域内，最小的$T(＞0)$倍数称之为其基本周期

注：当我们讨论一个函数的周期时，我们通常关注其基本周期

定理4.1

函数$f(θ)=sin(θ)$和$g(θ)=cosθ$是周期的，且周期为$2\pi$

定义4.2

正切函数 $\displaystyle tan x=\frac{sinx}{cosx}$

余切函数 $\displaystyle cot x=\frac{cosx}{sinx}$

正割函数 $\displaystyle sec x=\frac{1}{cosx}$

余割函数 $\displaystyle csc x=\frac{1}{sinx}$

$sin2θ+cos2θ=1$
$sin(-θ)=-sinθ$
$cos(-θ)=cosθ$

定义4.2

任何属于实数范围的α和β，下方结论均成立
$sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα$

$cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ$

$sin^2α=\frac{1}{2}(1-cos2α)$

$cos^2α=\frac{1}{2}(1+cos2α)$

$sin2θ=2sinθcosθ$

$cos2θ=cos2θ=sin2θ$

反三角函数

注：一般使用$arcsinx$来代替$sin^-1x$
一般把$sin^-1x$读作inverse sine of x或者arcsine of x

$y=sin^-1x$，当且仅当$siny=x$，且$\displaystyle y∈[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$

$y=cos^-1x$，当且仅当$y=x$，且$\displaystyle y∈[0,\pi]$

$y=tan^-1x$，当且仅当$tany=x$，且$\displaystyle y∈(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$

$y=sec^-1x$，当且仅当$secy=x$，且$\displaystyle y∈[0,\frac{\pi}{2}]∪[\frac{\pi}{2},\pi]$

J奇函数和偶函数

如果f满足$f(-x)=f(x)$，则称f为偶函数
例如：$f(x)=x^2$为偶函数，因为
$f(-x)=(-x)2=-x2=f(x)$

如果f满足$f(-x)=-f(x)$，则称f为奇函数
例如：$f(x)=x^3$为奇函数，因为
$f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)$

奇函数的图像基于原点对称

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